... haben eine ähnliche meditative Verwendung wie Labyrinthe: Es gibt zwei Richtungen an ihnen - auswärts und einwärts, und sie streben, wie die Menschen. Und wie hätte man es denn gern.
Mathematisch sind sie relativ einfache Gebilde. Jede/r kann sich vermutlich noch daran erinnern, wie der Mathelehrer einen Kreis an die Tafel gezeichnet hat: Nicht mit dem Zirkel, sondern indem er mit einer Schnur den Radius abgemessen hat, im Mittelpunkt festgehalten und dann den Kreisbogen gezeichnet. Damit hat man das Prinzip der Polarkoordinaten: statt dem rechtwinkligen x/y-Koordinatensystem nimmt man eines, das Winkel/Radius abbildet. So wird aus f(x) = const. = Radius ein Kreis, und aus der langweiligen Ursprungsgeraden f(x) = x
wird die einfachste mögliche Spirale.
Wenn man das verallgemeinert, bekommt man eine ganze Klasse von Spiralen, die nach Archimedes benannt sind.
f(x) = axb/n
Nehmen wir zum Beispiel f(x) = x2
dann sehen wir, wie die Abstände zwischen den Windungen immer größer werden, bei der Umkehrfunktion entsprechend umgekehrt.
Wir erinnern uns allerdings auch, dass Quadratwurzeln immer zwei Lösungen haben ... wir könnten also in diesem Fall die Rechtsrum-Spirale und die Linksrum-Spirale gleich in einen Graphen zeichnen (der Drehsinn ändert sich mit dem Vorzeichen)? Voilà, Fermats Spirale -
Da bekommt man ja schon etwas Lust, die Sache zu metaphorisieren ... so ein ordentlicher wendiger Durchmarsch durch den Nullpunkt, und dann wird alles anders, für immer ... hm.
Aber durch geeignete Veränderungen unserer Funktion bekommen wir auch finstere Metaphern - n = -2 (sog. Lituus, "Bischofsstab"). Die Werte sind anfangs sehr groß, aber dann stabilisieren sie sich und streben der leer bleibenden Mitte zu, kann man machen, was man will ... »Du wirst mich nie besitzen!« keischte die blonde Dämonin und verschwand.
Nochmal genauer hinschauen (Wertebereich geändert):
Mit den Exponentialfunktionen landet man dann allerdings in einer neuen Klasse von Spiralen - logarithmische Spiralen genannt - man sieht das auch: Sie fangen nicht nur anders an, sie sind auch an jeder Stelle irgendwie anders krumm als die archimedischen Spiralen. Wieder einfache Beispiele (die Parameter sind bloß zur Bequemlichkeit) -
und eine Umkehrfunktion dazu.
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Da habe ich allerdings mit dem Wertebereich gemogelt ... nämlich zwischen 0 und 1 sieht es erstmal gar nicht wie eine Spirale aus. |
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Nun, was tut man, wenn man weder einen Funktionsplotter auf dem Rechner noch eine ruhige Hand wie der Sprayer der nebenstehenden Spirale (an einem Hauseingang in Treptow) hat? |
Also zum Beispiel könnte man sich ein rekursives Geduldsspiel draus machen ... man nehme ein ganz einfaches rechtwinkliges Dreieck, sozusagen das Geodreieck in klein. Seitenlängen 1,1,Wurzel 2 - kein Problem. Nun setzt man oben wieder einen rechten Winkel an und zeichnet eine neue Seite mit Länge 1 und zieht dann die Linie zum Mittelpunkt durch. Also haben wir jetzt ein Dreieck mit den Seiten Wurzel 2, 1, Wurzel 3 ... und so machen wir immer weiter ... also beim n-ten Dreieck hat die Hypothenuse die Länge Wurzel (n+1). Ganz hübsch, wenn wir sauber zeichnen.
Quizfrage (1): Warum und wie ist die so entstehende Spirale (mal vorausgesetzt, wir legen eine glatte Kurve durch die Eckpunkte) anders als die Polardarstellung von f(x) = x0,5?
Quizfrage (2): Was ist hier passiert?
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